Gudang Materi

Showing posts with label Aljabar Linear. Show all posts

Korelasi Pearson Linier Sederhana

Korelasi merupakan sebuah istilah statistik yang memberi pernyataan derajat hubungan linier antara dua variabel atau lebih. Ditemukan oleh Karl Pearson pada awal tahun 1900, sehingga dengan demikian dikenal dengan sebutan Korelasi Pearson. Analisis korelasi merupakan salah satu teknik dalam analisis statistik yang paling banyak digunakan oleh para peneliti. Hal ini terjadi disebabkan para peneliti umumnya tertarik pada kejadian atau peristiwa-peristiwa yang terjadi dan selanjutnya berusaha untuk menghubungkannya.

Perhatikan dua contoh berikut:

1. Hubungan antara kemiskinan dengan kebodohan
2. Hubungan antara tinggi badan dan berat badan

Mari kita bahas perbedaan pola hubungan yang terjadi di antara dua contoh kalimat tersebut di atas.

Hubungan antara kemiskinan dengan kebodohan

Kalimat ini dapat dijelaskan bahwa orang yang bodoh dapat menyebabkan dirinya miskin, atau sebaliknya yaitu orang yang miskin dapat menyebabkan dirinya bodoh. Dengan demikian pada contoh kalimat yang pertama tidak jelas mana yang menjadi penyebab dan mana yang menjadi akibat.

Hubungan antara tinggi badan dan berat badan

Kalimat ini dapat dijelaskan bahwa tinggi badan seseorang menyebabkan berat badannya bertambah, tetapi dengan berat badan yang bertambah maka belum tentu menyebabkan tinggi badannya bertambah pula.

Data penyebab atau yang mempengaruhi disebut variabel bebas (independent) dan data akibat atau yang dipengaruhi disebut dengan variabel terikat (dependent). Variabel bebas biasanya dilambangkan dengan huruf X atau X1, X2, X3, … Xn (tergantung banyaknya variabel bebas). Sedangkan variabel terikat biasanya dilambangkan dengan huruf Y.

Koefisien Korelasi Pearson

Korelasi ini paling sering digunakan dalam penelitian sosial, besarnya angka korelasi disebut dengan koefisien korelasi yang dinyatakan dalam lambang r. Koefisien korelasi (KK) merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan (kuat, lemah, atau tidak ada) hubungan antarvariabel. Korelasi ini memiliki manfaat sebagai berikut:

1. Untuk menyatakan ada atau tidaknya hubungan yang signifikan antara variabel satu dengan yang lainnya.
2. Untuk menyatakan besarnya sumbangan variabel satu terhadap yang lainnya yang dinyatakan dalam persen (%).

Beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam menggunakan korelasi ini adalah variabel yang dihubungkan harus memiliki ketentuan sebagai berikut:

1. Data berdistribusi normal
2. Data linier (searah)
3. Data yang dipilih secara acak (random)
4. Variasi skor variabel yang dihubungkan harus sama
5. Data interval atau rasio

Koefisien korelasi memiliki nilai antara -1 dan +1 (-1 ? KK ? +1), dengan ketentuan sebagai berikut:

1. Jika KK bernilai positif maka variabel-variabel berkorelasi positif. Semakin dekat nilai KK ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
2. Jika KK bernilai negatif maka variabel-variabel berkorelasi negatif. Semakin dekat nilai KK ke -1 maka semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.
3. Jika KK bernilai 0 (nol) maka variabel – variabel tidak menunjukkan korelasi
4. Jika KK bernilai +1 atau -1 maka variabel – variabel menunjukkan korelasi positif atau negatif yang sempurna.

Tabel Representasi Nilai r

Koefisien Korelasi Pearson dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu sebagai berikut:

- Metode least square
- Metode Product Moment

Berikut ini telah diupload latihan soal yang membahas tentang kedua metode tersebut di atas. Terdiri dari 2 (dua) buah file pdf, yakni yang berisi latihan soal, dan kuis. Anda dapat mengunduhnya dengan gratis:

1. Latihan soal analisis korelasi linier sederhana, klik di sini
2. Kuis tentang analisis korelasi linier sederhana, klik di sini

sumber : http://boeditea.web.id/2010/03/27/korelasi-pearson-linier-sederhana/

Baca Selengkapnya ..

Regresi Linear Sederhana

Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga dapat digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antarvariabel. Jika kita memiliki dua buah variabel atau lebih maka sudah selayaknya apabila kita ingin mempelajari bagaimana variabel-variabel itu berhubungan atau dapat diramalkan.

Analisis regresi mempelajari hubungan yang diperoleh dinyatakan dalam persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel. Hubungan fungsional antara satu variabel prediktor dengan satu variabel kriterium disebut analisis regresi sederhana (tunggal), sedangkan hubungan fungsional yang lebih dari satu variabel disebut analisis regresi ganda.

Istilah regresi (ramalan/taksiran) pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton pada tahun 1877 sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi manusia, yaitu antara tinggi anak dan tinggi orang tuanya. Pada penelitiannya Galton mendapatkan bahwa tinggi anak dari orang tua yang tinggi cenderung meningkat atau menurun dari berat rata-rata populasi. Garis yang menunjukkan hubungan tersebut disebut garis regresi.

Analisis regresi lebih akurat dalam melakukan analisis korelasi, karena pada analisis itu kesulitan dalam menunjukkan slop (tingkat perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya dapat ditentukan). Dengan demikian maka melalui analisis regresi, peramalan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.

Persamaan Regresi Linier dari Y terhadap X

Persamaan regresi linier dari Y terhadap X dirumuskan sebagai berikut:

Y = a + b X

keterangan:

Y = variabel terikat
X = variabel bebas
a = intersep
b = koefisien regresi/slop

Pada persamaan tersebut di atas, nilai a dan b dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Terima kasih kepada pembaca sekalian , semoga dapat berguna bagi kita semua , dan bagi penulis silahkan lihat di contoh soal dan penjelasan dari Regresi Linear Sederhana.

Baca Selengkapnya ..

Bentuk Eselon dan Reduksi Baris

Matriks segiempat dalam bentuk eselon (atau eselon baris) jika mempunyai tiga sifat berikut:

~ Semua baris bukan nol berada di atas beberapa baris nol semua
~ Setiap elemen utama baris dalam kolom bergeser ke kanan elemen utama di atasnya
~ Semua elemen dalam kolom di bawah elemen utama adalah nol

Jika matriks dalam bentuk eselon memenuhi kondisi tambahan berikut, maka dinamakan bentuk eselon tereduksi (atau bentuk eselon baris tereduksi):

* Elemen utama dalam tiap baris bukan nol adalah 1
* Tiap elemen utama 1 hanya elemen bukan nol dalam kolomnya

Keunikan dari Bentuk Eselon Tereduksi

- Setiap matriks adalah baris ekivalen untuk satu dan hanya satu matriks eselon tereduksi.

- Jika matriks A sama baris pada matriks eselon U, dikatakan U bentuk eselon dari A; jika U dalam bentuk eselon tereduksi, dikatakan U bentuk eselon tereduksi dari A

Baca Selengkapnya ..

Matrix dan Operasi Baris Elementer

Informasi penting dari sistem linier bisa dicatat secara rapi dalam susunan segiempat yang dinamakan matriks

Diberikan sistem

x1 – 2x2 + x3 = 0
2x2 – 8x3 = 8
– 4x1+ 5x2 + 9x3 = – 9

Matriks koefisien yaitu susunan koefisien dari tiap variabel diluruskan dalam kolom.

Matriks tambahan (augmented matrix) berisi matriks koefisien ditambah kolom yang berisi konstanta dari sebelah kanan persamaan.

Operasi Baris Elementer

^ Mengganti satu baris dengan menjumlahkan baris itu dan mengalikan pada baris lain
^ Menukar tempat dua baris
^ Mengalikan semua elemen dalam baris dengan konstanta bukan nol

Baca Selengkapnya ..

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linier (sistem linier) adalah kumpulan dari satu atau beberapa persamaan linier dengan variabel yang sama.

Aturan Sistem Persamaan Linear

1. Persamaan linier dengan variabel x1, x2, …, xn

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b (1)

dimana b dan koefisien a1, a2, …, an adalah bilangan real atau kompleks; n bilangan bulat positif

2. Kumpulan dari semua solusi yang mungkin dinamakan himpunan penyelesaian dari sistem linier.

3. Dua sistem linier dinamakan ekivalen (sama) jika mereka mempunyai himpunan penyelesaian yang sama.

4. SPL dikatakan konsisten jika mempunyai satu atau banyak solusi

5. SPL tidak konsisten jika tidak mempunyai solusi

Solusi Sistem Persamaan Linear

- Tidak ada solusi

- Mempunyai solusi tunggal

- Mempunyai banyak solusi

Baca Selengkapnya ..

Persamaan Linear Simultan

Persamaan linear simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.

Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:

Dimana :

a i j untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan
x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x i
untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

Persamaan linier simultan diatas dapatdinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu:

Matrik A = Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian
Vektor x = Vektor variabel
Vektor B= Vektor konstanta

Augmented Matrix ( matrik perluasan) dari persamaan linier simultan adalah matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:

Teorema Persamaan Linier Simultan

Suatu persamaanlinier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat syarat sebagai berikut :

(1) Ukuran persamaan linier simultan bujur sangkar, dimana jumlah persamaan sama denganjumlahvariable bebas.

(2) Persamaanlinier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.

(3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.

Baca Selengkapnya ..