Gudang Materi

Borland C++

Borland adalah salah satu perusahaan yang membuat kompiler. Pada waktu lalu, mereka merilis versi dari C ++ yang disebut Turbo C++ yang menjadi populer untuk pemrograman pada lingkungan DOS, dan anda dapat menemukan beberapa buku yang berhubungan dengan kompiler tersebut.

Borland is one company that create compilers. In the past, they released a version of C++ called Turbo C++ that was popular for programming in the DOS environment, and you may find some books still come with that compiler.

Website Borland mempunyai informasi mengenai kompiler mereka, dan memberikan download gratis dari kompiler mereka. Perusahaan tersebut memberikan versi baru dari kompiler mereka , yaitu Borland C++ 5.5 untuk di download.

Borland's webpage has information on their compilers, as well as some free downloads of their earlier compilers . They are now giving away a new version of their compiler, Borland C++ 5.5 for free download.

Catatan : Kompiler ini adalaha file 'command-line tool' : anda dapat menjalankannya dari DOS Prompt.

Note : that this compiler is a command-line tool: you will need to feel comfortable running it from the DOS prompt.

Mempelajari Pemrograman, tidak hanya sekedar 'memakan kacang' . Oleh karena itu saya akan memandu anda untuk menginstall Borland C++ di komputer anda.

Learn Programming, that not like 'eat peanut' . Because of that, i want to guide you to install Borland C++ in your computer.

Pertama, Download Compilernya Borland C++ atau Borland C++ 5.5 .. Kemudian ikuti Pengaturan Kompiler .

First, download compiler at Borland C++ or Borland C++ 5.5 .. And then follow the instruction Setting up your compiler.

Pengaturan Kompiler
Setting up Your Compiler

Ketika anda mendownload kompiler Borland, anda mendapatkan pengaturan dasar, termasuk direktori dasar,"c:\Borland\BCC55". Ketika anda menyelesaikannya, ikuti instruksi dibawah ini untuk menjadikan kompiler siap digunakan.

Once you've downloaded the Borland compiler, you can take the default installation options, including the default directory, "c:\Borland\BCC55". Once you've done that, follow the instructions below to get the compiler ready to use.

Anda perlu memberitahu kompiler dimana tempat untuk menemukan file INCLUDE dan LIBRARIES pendukung. Untuk melakukan hal ini, bukalah notepad (atau teks editor lainnya) dan pindahkan lah dua baris kata dibawah ke teks editor (notepad) kosong:

* You need to tell the compiler where to find the include files and supporting libraries. To do this, open up notepad (or any other text editor) and paste the following two lines into a blank file:

-I"c:\Borland\Bcc55\include"
-L"c:\Borland\Bcc55\lib"

Simpanlah file ini pada notepad sebagai "c:\borland\bcc55\bin\bcc32.cfg". Untuk melakukan hal ini, gunakan "Save As" dibawah menu "File" , kemudian ketikkan "bcc32.cfg" .

* Save this file in notepad as "c:\borland\bcc55\bin\bcc32.cfg". To do this, just go to "Save As" under the "File" menu, then type the entire file name, in quotes, into notepad. You need to include the quotes to keep it from adding a .txt extension.

Kemudian pindahkan baris dibawah ini juga ke notepad kosong :
* Now paste the following line into a new blank text file:

-L"c:\Borland\Bcc55\lib"

Simpanlah file baru ini sebagai "ilink32.cfg"
* Save this new file as "c:\borland\bcc55\bin\ilink32.cfg"

Luar biasa, sekarang anda telah siap mengetik dan menjalankan program. Menjalankan dan mengetes instalasi . Sejak Borland C++ 5.5 adalah command-line tool, anda akan membutuhkan sesuatu untuk menjalankannya dari command line.

Great, now you're ready to start writing and compiling programs.Compiling and Testing your Installation. Since Borland C++ 5.5 is a command-line tool, you will need to run it from the command line.

Sebelum mencoba untuk menjalankan program, anda membutujkan sesuatu code untuk dijalankan pada kompiler. Anda dapat menggunakan pada notepad atau mendownload text editor code yang lebih baik. Dan disarankan anda menyimpan file nya pada "c:\borland\bcc55\bin" direktori . Jika anda menyimpan di notepad, pastikan untuk menyimpan dengan tanda kutip ".cpp".

Before trying to compile a program, you'll need to actually write some code to test the compiler. You can do this in notepad, or download a better text editor. At any rate, you'll want to save the file in the "c:\borland\bcc55\bin" directory. If you save it in notepad, be sure to enclose the name in quotes to make it a ".cpp" file instead of a ".txt" file.

Dibawah ini program mudah yang dapat anda coba memindahkan ke notepad dengan nama "test.cpp" untuk mencoba instalasi kompiler :

Here's a simple program you can copy into notepad and save as "c:\borland\bcc55\bin\test.cpp" to test your compiler's installation:

#include
int main()
{
std::cout<< "I work!" <<>
}

Borland C++ kompiler bernama "bcc32" dan berlokasi "c:\borland\bcc55\bin" direktori .Dibawah ini langkah - langkah untuk menjalankan program pertamamu.

Borland C++'s compiler is actually named "bcc32" and it is located in the "c:\borland\bcc55\bin" directory; the below instructions will take you through compiling your first program.

Menjalankan Program
Compiling the program

1. Menuju start, klik run , dan ketik "Command", dan tekan enter.
* Go to start, click on run, and type "Command", and hit enter.

2. Kemudian , ketik "cd c:\borland\bcc55\bin dan tekan enter.
* Now, type "cd c:\borland\bcc55\bin" and hit enter.

3. Maka akan muncul direktori seperti, "c:\Borland\BCC55\Bin; jika tidak, cek yang anda telah ketikkan.
* You should be in the above directory now (your prompt should read: "c:\Borland\BCC55\Bin"); if not, check that you typed it correctly.

4. Ketikkan "bcc32 test.cpp" dan tekan enter. Keluaran yang akan muncul jika berjalan dengan benar seperti dibawah ini:
* Type in "bcc32 test.cpp" and hit enter. This should result in the following output if everything worked:

Borland C++ 5.5.1 for Win32 Copyright (c) 1993, 2000 Borland
test.cpp:
Turbo Incremental Link 5.00 Copyright (c) 1997, 2000 Borland

Jika,hal tersebut diatas muncul maka hal itu berarti program tersebut bekerja.
which means that it worked.

Sekarang anda dapat menjalankan test program tersebut dengan mengetik "test.exe" dan tekan enter. Dan anda akan melihat seperti dibawah ini. * You can now run your test program by typing "test.exe" and hitting enter. You should see the text:

I work!

Terima kasih anda telah membaca artikel kami ini, kami berharap anda mencantumkan Blog kami sebagai sumber referensi anda. Untuk mendownload klik disini .. Borland C++ 5.5

Thank you for reading our article , we hope you write our Blog name as your reference source. For download click here .. Borland C++5.5

Baca Selengkapnya ..

Tautologi, Kontradiksi , Contingent , dan Ekuivalensi Logis

Pada materi kali ini, kita akan membahas mengenai Tautologi, Kontradiksi , Contingent , dan Ekuivalen Logis. Dimana , tautologi menggambarkan kebenaran dari semua pernyataan, sedangkan kontradiksi menggambarkan kesalahan ( F ) dari semua pernyataan yang tergambar pada kesimpulan.

Tautologi

Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai benar di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi yang berada di dalamnya.

Jika tautologi dipakai pada suatu argumen, berarti argumen harus mempunyai nilai T pada seluruh pasangan pada tabel kebenaran yang ada membuktikan argumen tadi valid.

Argumen berarti memiliki premis-premis dan mempunyai kesimpulan.

Jika premis-premis benar, maka kesimpulan juga harus benar.

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, makaTini pergi kuliah.
Diubah ke variabel proposisional:
A = Tono pergi kuliah.
B = Tini pergi kuliah.
C = Siska tidur.

Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
A->B (premis)
C->B (premis)
(A V C)->B (kesimpulan)
Selanjutnya dapat ditulis sebagai berikut:
((A->B)^(C->B))->((A V C)->B)

Setelah itu membuat tabel kebenaran dari ekspresi logika tersebut.

Jadi, jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid.

Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1

Pemanfaatan Tautologi

Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni:

1. Implikasi secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan A ->B

2. Ekuivalen secara logis. Misalnya A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan: A = B. di sini disyaratkan A = B, jika dan hanya jika A <-> B adalah tautologi.

Kontradiksi

Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Pada argumen, suatu kontradiksi dapat dijumpai jika antara premis-premis bernilai T, sedangkan kesimpulan bernilai F. Hal ini tentunya tidak mungkin terjadi, karena premis-premis yang benar harus menghasilkan kesimpulan benar.

Dalam bahasa logika konjungsi dari semua premis-premis dengan negasi dari kesimpulan selalu bernilai F, dan terjadi kontradiksi.

Negasi kesimpulan berarti memberi nilai F pada negasi kesimpulan.

Dalam logika, kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0

Contingent

Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Ekuivalen Logis

Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A ekuivalen B adalah tautologi. Notasi atau simbol A ekuivalen B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk.

Pada tautologi dan juga kontradiksi dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi.

Pada contingent, jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama, maka tetap disebut ekuivalen secara logis.

Terima kasih , telah membaca laporan saya ini. Ada baiknya mencantumkan nama blog saya ini sebagai sumber referensi. Untuk download materi ini, klik ini Materi TKC dan El

Baca Selengkapnya ..

Logika Proposisi

Proposisi adalah setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah.

Logika proporsional adalah logika yang menangani atau memproses atau memanipulasi penarikan kesimpulan secara logis dari proposisi-proposisi.

Proposisi atomik adalah proposisi yang tak dapat dipecah-pecah menjadi beberapa proposisi lagi.

Contoh:

Anda harus belajar dengan rajin.

Proposisi majemuk adalah proposisi yang terdiri dari beberapa proposisi atomik.

Semua proposisi bukan atomik disebut proposisi majemuk dan semua proposisi majemuk memiliki minimal satu perangkai logika.

Contoh:

Anda harus rajin belajar atau Anda gagal ujian

Silogisme

Contoh:
A = Anda rajin belajar.
B = Anda lulus ujian.
C = Anda senang.

Bentuk argumen :
Jika A, maka B
Jika B, maka C
Jika A maka C

Pernyataan 1 dan 2 merupakan premis-premis dari argumen, sedangkan pernyataan 3 merupakan kesimpulan yang berasal dari premis-premisnya.

Modus Ponens

Contoh:
A = Lampu lalu lintas menyala merah.
B = Semua kendaraan berhenti.

Bentuk argumen:
Jika A, maka B
A
B

Modus Tollens

Contoh:
A= Badu rajin belajar.
B = Badu lulus ujian.

Bentuk argumen:
Jika A, maka B
Tidak B
Tidak A

Terima kasih , telah membaca laporan saya ini. Ada baiknya mencantumkan nama blog saya ini sebagai sumber referensi. Untuk download materi ini, klik ini Materi Logika Proposisi (ppt) dan Materi Logika Proposisi (pdf)

Baca Selengkapnya ..

Pengenalan Logika Matematika

Definisi

Logika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip dari penalaran argumen yang valid.

Logika secara umum berhubungan dengan penalaran deduktif (deduktive reasoning) yang hanya secara umum mengambil kesimpulan dari premis-premisnya.

Penalaran induktif (induktive reasoning) yaitu studi tentang pengambilan kesimpulan umum yang diperoleh dari suatu penelitian atau observasi.

Argumen

Suatu usaha untuk mencari kebenaran dari pernyataan berupa kesimpulan, dengan berdasarkan dari satu kumpulan pernyataan yang disebut premis-premis.

Bentuk argumen artinya sekumpulan pernyataan yang terdiri dari premis-premis dan diikuti satu kesimpulan.

Validitas Argumen

Validitas argumen adalah premis-premis yang diikuti oleh suatu kesimpulan yang berasal dari premis-premisnya dan bernilai benar.

Validitas dapat dibedakan dengan kebenaran dari kesimpulan.
Logika Matematika

Istilah logika matematika diperkenalkan pertama kali oleh Giuseppe Peano, ahli matematika dari Italia.

Logika matematika adalah aturan-aturan logika yang menggunakan kaidah-kaidah matematika yang dipergunakan untuk membuktikan validitas suatu argumen.

Logika Klasik atau Tradisional

Diperkenalkan pertama kali oleh Aristoteles, Filsuf dan ahli Sains dari Yunani. (logika Aristoteles)

Menurutnya , suatu silogisme adalah suatu argumen yang terbentuk dari pernyataan-pernyataan dengan salah satu atau keempat bentuk berikut:

Semua A adalah B (universal affirmative)
Tidak A adalah B (universal negative)
Beberapa A adalah B (particular affirmative)
Beberapa A adalah tidak B (particular negative)

Huruf A dan B di atas menggantikan suatu kata benda, misalnya “manusia”, “hewan “, dan sebagainya.

Logika Modern atau Simbolik

Logika modern dikembangkan dari logika Aristoteles oleh Augustus De Morgan (1806-1871) dan George Boole (1815-1864), para ahli matematika dari Inggris

Selanjutnya logika tersebut dikembangkan dan diperkaya dengan penemuan-penemuan dari Gottlob Frege (1848-1925) ahli math dari Jerman, Bertrand Russel (1872-1970), Alfred North Whitehead (1861-1947)

Logika modern ini mengenalkan simbol-simbol untuk kalimat yang lengkap dan perangkai-perangkai yang akan merangkainya misalnya “and”, “or”, “if…then…”, “…if only if…” dan dibahas pada logika proporsional.

Logika klasik dan logika modern termasuk logika deduktif, dimana premis-premis dari suatu argumen yang valid harus memiliki kesimpulan, atau kebenaran suatu kesimpulan harus mengikuti premis-premisnya.

Dalam bentuk biasa, semua well-formed sentence di dalam logika modern memiliki satu nilai saja dari dua nilai berikut, yaitu benar (true) atau salah (false)

Logika matematika yang menangani masalah well-formed formulae yang hanya memiliki nilai benar dan salah adalah:

Logika proporsional: fokus utama pada pernyataan-pernyataan yang dapat digolongkan dalam pengertian proposisi-proposisi.

Logika predikat: fokus pada predikat yang selalu menyertai suatu pernyataan dalam bentuk kalimat; yang tidak dapat diproses dengan logika proporsional.

Logika proporsional dikembangkan oleh George Boole dan Augustus De Morgan yang memberinya nama logika simbolik, karena logika tersebut bekerja dengan memanipulasi simbol-simbol.

Dasar pemberian nilainya kemudian diformulasikan pada tabel kebenaran (truth table) yang diperkenalkan oleh Emil L. Post (1897-1954) dan Ludwig J.J Wittgenstein (1889-1951)

Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William (1788-1856) dengan dokrinnya yang dinamakan “Quantification theory”

Logika predikat dikembangkan oleh Gottlob Frege, tetapi formula-formula logika predikat yang digunakan sekarang yang diberi nama First Order Logic dikenalkan oleh David Hilbert dan Wilhelm Ackermann tahun 1928 dalam makalahnya berjudul Principles of Theoritical Logic.

Mohon maaf untuk materi ini, banyak contoh - contoh yang tidak dapat dimasukkan karena kurangnya 'space' , oleh karena itu materi ini dapat anda download disini Materi Pengenalan LoMath

Terima kasih , telah membaca materi saya ini. Ada baiknya mencantumkan nama blog saya ini sebagai sumber referensi.

Baca Selengkapnya ..

Aljabar Boolean (lanjutan)

Pada Aljabar Boolean (lanjutan) ini, kita akan mempelajarai mengenai, Fungsi Boolean, Minterm , Maxterm, Konversi Kanonik, Bentuk SOP dan POS, dan Aplikasi Aljabar Boolean itu sendiri.

Fungsi Boolean

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

f : Bn -> B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 . 0 . 1 + 1’ . 0 + 0’.1 = 0 + 0 + 1 = 1

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1. f(x) = x
2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’
4. f(x, y) = (x + y)’
5. f(x, y, z) = xyz’

Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:

Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ (yz)’
= x’ + (y + z) (y’ + z’)

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.

Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)

komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’

Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)

Bentuk Kanonik

• Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
SOP
Setiap suku (term) disebut minterm

2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)

POS
Setiap suku (term) disebut maxterm

• Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap

Contoh 7.10. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:
(a) SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah

f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz

atau (dengan menggunakan lambang minterm),

f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 =  (1, 4, 7)

(b) POS
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah

f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)
(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)

atau dalam bentuk lain,

f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = (0, 2, 3, 5, 6)

Contoh 7.11. Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z

Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz

atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 =  (1,4,5,6,7)

(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)

x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)

Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)

Konversi Antar Bentuk Kanonik

Misalkan
f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7)

dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,

f ’(x, y, z) = (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3

Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:

f ’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= (0,2,3)

Jadi, f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3).

Kesimpulan: mj’ = Mj
Contoh. Nyatakan
f(x, y, z)= (0, 2, 4, 5) dan
g(w, x, y, z) = (1, 2, 5, 6, 10, 15)

dalam bentuk SOP.
Penyelesaian:
f(x, y, z) = (1, 3, 6, 7)

g(w, x, y, z)= (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)
Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
Penyelesaian:
(a) SOP
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
= y’ (x + x’) (z + z’) + xy (z + z’) + x’yz’
= (xy’ + x’y’) (z + z’) + xyz + xyz’ + x’yz’
= xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’

atau f(x, y, z) = m0+ m1 + m2+ m4+ m5+ m6+ m7

(b) POS
f(x, y, z) = M3 = x + y’ + z’

Bentuk Baku

Contohnya,

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP)

f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)

Untuk aplikasi Aljabar Boolean anda dapat mendownloadnya disini .. Aplikasi Aljabar Boolean

Terima kasih , telah membaca materi saya ini. Ada baiknya mencantumkan nama blog saya ini sebagai sumber referensi. Untuk download materi ini, klik ini Materi Aljabar Boolean Lanjutan (doc) dan Materi Aljabar Lanjutan (ppt)

Baca Selengkapnya ..

Definisi dan Aksioma Aljabar Boolean

Aljabar boolean adalah sistem aljabar yang berisi himpunan S dengan dua operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didefinisikan pada himpunan, sehingga setiap elemen a, b, dan c dari S mempunyai sifat-sifat atau aksioma-aksioma berikut:
Aksioma-aksioma

1. a + b C S (tertutup)

2. a.b C S (tertutup)

3. a + (b + c) = (a + b) + c (asosiatif)

4. a.(b.c) = (a.b).c (asosiatif)

5. Jika 0 C S maka untuk setiap a C S, adalah a + 0 = 0 + a = a (identitas)

6. Jika 1 C S maka untuk setiap a C S, adalah a.1 = 1.a = a (identitas)

7. a + b = b + a (komutatif)

8. a.b = b.a (komutatif)

9. a.(b + c) = a.b + a.c (distributif)

10. (a + b).c = a.c + b.c (distributif)

11. a + (b.c) = (a + b).(a + c) (distributif)

12. (a.b) + c = (a + c).(b + c) (distributif)

13. untuk setiap a C S, dan a’ C S, maka a + a’ = 1 dan a.a’ = 0

Prinsip Dualitas

Teorema 1
Untuk setiap elemen a, berlaku:
a + a = a dan a.a = a

Teorema 2
Untuk setiap elemen a, berlaku:
a + 1 = 1 dan a.0 = 0

Teorema 3
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku:
a + a.b = a dan a(a + b) = a
(disebut hukum penyerapan)

Teorema 4
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku:
(a.b)’ = a’ + b’ dan (a + b)’ = a’.b’
(disebut hukum de Morgan)

Teorema 5
0’ = 1 dan 1’ = 0
Teorema 6
Jika suatu aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 ≠ 1

Pembuktian Rumus Dualitas
Pembuktian rumus dualitas dilakukan berdasar aksioma dan sifat dari aljabar Boolean, yaitu:

1a. Pernyataan a + a = a
Bukti:
a+a = (a+a)(1) (identitas)
= (a+a)(a+a’) (komplemen)
= a + (a.a’) (distributif)
= a + 0 (komplemen)
= a (identitas)

1b. Pernyataan: a.a = a
Bukti
a.a = a.a + 0 (identitas)
= a.a +a.a’ (komplemen)
= a (a + a’) (distribusi)
= a.1 (komplemen)
= a (identitas)

2a. Pernyataan: a + 1 = 1
Bukti
a + 1 = a + (a + a’) (komplemen)
= (a + a) + a’ (asosiatif)
= a + a’ (teorema 1a)
= 1 (komplemen)

2b. Pernyataan: a.0 = 0
Bukti
a.0 = a.(a.a’) (komplemen)
= (a.a).a’ (asosiatif)
= a.a’ (idempoten)
= 0 (komplemen)

3a. Pernyataan: a + a.b =a
Bukti
A + a.b = a.1 + a.b (identitas)
= a(1 + b) (distributif)
= a.1 (teorema 2a)
= a (identitas)

3b. Pernyataan: a.(a + b) = a
Bukti
a.(a + b) = a.a + a.b (distributif)
= a + a.b (idempoten)
= a.1 + a.b (identitas)
= a.(1 + b) (distributif)
= a.1 (teorema 2a)
= a (identitas)

4a. Pernyataan: (a.b)’ = a’ + b’
diketahui : (ab)(ab)’ = 0
diperlihatkan : (ab)(a’ + b’) = 0
Bukti
(ab)(a’ + b’) = aba’ + abb’ (distributif)
= 0.b +a.0 (komplemen)
= 0 + 0 (teorema 2b)
= 0 (identitas)

4b. Pernyataan: (a + b)’ = a’b’
diketahui : (a + b) + (a + b)’ = 1
diperlihatkan: (a + b) + a’b’ = 1
Bukti
(a+b) + a’b’ = (a+b+a’).(a+b+b’) (distributif)
= (1 + b).(a + 1) (komplemen)
= 1.1 (teorema 2a)
= 1 (identitas)

Aturan <= (lebih kecil daripada) Definisi: x dan y adalah elemen-elemen dari aljabar Boolean. Dinyatakan bahwa: x lebih kecil daripada y (x <= y) jika dan hanya jika x + y = y Teorema 7 adalah suatu bagian dari urutan Bukti Dari teorema 1: x + x = x, sehingga x <= x Jika x <= y, maka x + y = y; Jika y <= x, maka x + y = y + x = x Sehingga jika x <= y dan y <= x, maka x = y Dapat disimpulkan: x <= y dan y <= z, maka x + y = y dan y + z = z x + z = x + (y + z) = (x + y) + z = y + z = z, Sehingga x <= z Teorema 8 Jika x, y, dan z adalah elemen-elemen dari aljabar Boolean, maka <= mempunyai sifat-sifat berikut ini: i. Jika x <= y dan x <= z, maka x <= yz ii. Jika x <= y, maka x <= y + z untuk elemen z iii. Jika x <= y, maka xz + x = x atau xz <= x iv. x < = y jika dan hanya jika y’ <= x’ Bukti i. x + y = y dan x + z = z, sehingga x + yz = (x+y)(x+z) = yz ii. Jika x + y = y, maka x + (y+z) = (x+y) + z = y + z iii. Dengan hukum penyerapan, xz + x = x atau xz <= x iv. x <= y, maka x + y = y dan y’ = (x+y)’ Sehingga y’ + x’ = (x+y)’ + x’ = ((x+y)x)’ = x’ (dengan hukum penyerapan) Fungsi Boolean Definisi: Misalkan x1, x2, x3, …, xn merupakan variabel-variabel aljabar Boolean. Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan berikut: 1. Fungsi konstan 2. Fungsi proyeksi 3. Fungsi komplemen 4. Fungsi gabungan Definisi 1. Fungsi konstan : f(x1, x2, x3, …, xn) = a, 2. Fungsi proyeksi : f(x1, x2, x3, …, xn) = xi, i = 1, 2, …, n 3. Fungsi komplemen: g(x1, x2, x3, …, xn) = (f(x1, x2, x3, …, xn))’ 4. Fungsi gabungan: h(x1, x2, x3, …, xn) = f(x1, x2, x3, …, xn)+ g(x1, x2, x3, …, xn) h(x1, x2, x3, …, xn) = f(x1, x2, x3, …, xn). g(x1, x2, x3, …, xn) Catatan: Fungsi identitas: fungsi proyeksi satu variabel, dimana f(x) = x Contoh Fungsi-fungsi Boolean dengan variabel x, y, dan z, dan a merupakan suatu elemen dalam aljabar Boolean: f(x) = x + x’a g(x,y) = x’y +xy’ + y’ h(x,y,z) = axy’z + yz’ + a + xy Teorema 9 Jika f adalah fungsi Boolean dengan satu variabel, maka untuk semua nilai x adalah f(x) = f(1)x +f(0)x’ Untuk kemungkinan bentuk f: Kasus 1 f adalah fungsi konstan, f(x) = a f(1)x + f(0)x’ = ax + ax’ = a(x+x’)= a.1 = a = f(x) Kasus 2 f adalah fungsi identitas f(1)x + f(0)x’ = 1x + 0x’ = x + 0 = x = f(x) Kasus 3 g(x) = (f(x))’ g(x) = (f(x))’ = (f(1)x + f(0)x’)’ = (f(1)x)’( f(0)x’)’ = ((f(1))’ + x’) + ((f(0))’ + x) = (f(1))’(f(0))’ + (f(1))’x + (f(0))’x’ + xx’ = (f(1))’(f(0))’(1) + (f(1))’x + (f(0))’x’ = (f(1))’(f(0))’(x+x’) + (f(1))’x + (f(0))’x’ = (f(1))’(f(0))’x + (f(1))’x + (f(1))’(f(0))’x’ + (f(0))’x’ = (f(1))’x + (f(0))’x’ (hukum penyerapan) = g(1)x + g(0)x’ Kasus 4 h(x) = f(x) + g(x) h(x) = f(x) + g(x) = f(1)x + f(0)x’ + g(1)x + g(0)x’ = (f(1)+g(1))x + (f(0) + g(0))x’ = h(1)x + h(0)x’ Kasus 5 k(x) = f(x)g(x) k(x) = f(x)g(x) = (f(1)x + f(0)x’)(g(1)x + g(0)x’) = f(1)g(1)xx + f(1)g(0)xx’ + f(0)g(1)x’x + f(0)g(0)x’x’ = f(1)g(1)x + f(0)g(0)x’ = k(1)x + k(0)x’ Bentuk Kanonik Fungsi Boolean Satu variabel f(x) = f(1)x +f(0)x’ Dua variabel f(x,y) = f(1,1)xy + f(1,0)xy’ + f(0,1)x’y + f(0,0)x’y’ Terima kasih , telah membaca materi saya ini. Ada baiknya mencantumkan nama blog saya insebagai sumber referensi. Untuk download materi ini, klik iniMateri Aksioma Aljabar Boolean (docx) dan Materi Aksioma Aljabar Boolean (ppt)

Baca Selengkapnya ..

Teori Himpunan

Himpunan (set)
Kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas

Anggota Himpunan
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota himpunan

Himpunan Hingga dan Takhingga
Himpunan hingga (finite set) jika himpunan berisi sejumlah hingga elemen berbeda. Selain itu disebut himpunan takhingga (infinite set)

Notasi dan Definisi

Notasi himpunan

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar: A, B, C, …. Elemen-elemen dalam himpunan dinyatakan
Contoh:
A = {1, 3, 5, 7}
B = {x x genap > 0}

Cara penulisan himpunan
Pendaftaran (list), mendaftarkan semua anggota himpunan
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Deskripsi (rule atau predikat), mendefinisikan suatu aturan atau predikat yang merupakan batasan bagi anggota-anggota himpunan
A = {x x < 10 dan x - bilangan asli}

Definisi-definisi
Himpunan bagian (subset)
A C B; A himpunan bagian dari B bila tiap elemen A adalah elemen B
A C B; A himpunan bagian asli dari B bila tiap elemen A adalah elemen B, tapi himpunan A tidak sama B

Himpunan kosong
Himpunan yang tidak mempunyai elemen dilambangkan dengan { }
Himpunan kosong selalu merupakan salah satu himpunan bagiannya
Himpunan kuasa (power set)
Himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.

Operasi-operasi dasar himpunan

Gabungan (union)
Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya.
A u B dibaca A union B
Contoh
A = {a, b, c, d} dan B = {e, f, g}, maka
A u B = {a, b, c, d, e, f, g}
Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas: A u B = {x x - A atau x - B}

Irisan (intersection)
Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang dimiliki bersama oleh A dan B. A n B dibaca A irisan B
Contoh
S = {a, b, c, d} dan T = {b, d, f, g}, maka
S n T = {b, d}
Dapat dinyatakan dengan:
A n B = {x x - A dan x - B}

Selisih (difference)
Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B
A – B = {x x - A dan x C B}

Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A.
A’ = {x x - U dan x Ï A} atau
A’ = {x x C A}

Hukum-hukum operasi himpunan

Hukum identitas
A u {} = A
A n U = A

Hukum null/dominasi
A n{} = {}
A u U = U
Hukum komplemen
A u A’ = U
A n A’ = {}

Hukum idempoten
A u A = A
A n A = A

Hukum involusi
(A’)’ = A

Hukum penyerapan (absorpsi)
A u (A n B) = A
A n (A u B) = A

Hukum komutatif
A u B = B u A
A n B = B n A

Hukum asosiatif
A u (B u C) = (A u B) u C
A n (B n C) = (A n B) n C

Hukum distributif
A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
A n (B u C) = (A n B) u (A n C)

Hukum De Morgan
(A n B)’ = A’ u B’
(A u B)’ = A’ n B’

Terima kasih , telah membaca laporan saya ini. Ada baiknya mencantumkan nama blog saya ini sebagai sumber referensi. Untuk download materi ini, klik iniMateri Teori Himpunan (ppt) dan Materi Teori Himpunan (docx)

Baca Selengkapnya ..